Question

观察下列一组数：1/1，2/1，1/2，3/1，2/2，1/3，4/1，3/2，2/3，1/4，5/1，4/2，3/3，2/4，1/5，......

根据以上规律：
根据以上规律：
(1)问：2/2009是这一组数中的第几个数？并求出这个数前面所有数的积(包括这个数)。
(2)请问这组数中的第2010个数是多少？
(2)请问这组数中的第2010个数是多少？

Answer 1

规律:
相加为2: 1/1
相加为3: 2/1,1/2
相加为4: 3/1,2/2,1/3
相加为5: 4/1,3/2,2/3,1/4
....
(1)解:
∵2+2009=2011
∴它是这组数的第(1+2+3+...+2009+2010)-1=2021054个数.
∵1/1=1,2/1*1/2=1,3/1*2/2*1/3=1,4/1*3/2*2/3*1/4=1,....
这之前的数字的积为:1/(1/2010)=2010
(2)解:
因为1+2+3+...+62=1953<2010
1+2+3+...+62+63=2016>2010
∴这个数相加的和为64
2016-2010=6
∴这个数是7/57

Answer 2

2010/1

Answer 3

解 1. 将p+q称为分数p/q的高,显然上述数列的数是按高的大小,从小到大排列的,高最小为2,高为2的数仅有1个(1/1),高为3的数有2个(2/1,1/2)，高为4的数有3个(3/1,2/2,1/3),…,一般地高为n的有n-1个:(n-1)/1, (n-2)/2,…,1/(n-1),同高的数按分子从大到小的顺序排列的.

数2/2009的高为2+2009=2011,排在它前面的有所有高≤2010的数,这些数应有1+2+3+…+2009个数,2/2009在高为2011的同高的数中排在第2009个位置上,故它应排在该数列的

1+2+3+…+2009+2009=2009×2010/2+2009=2021054个位置上,故2/2009是这组数中的第2021054个数.

显然所有同高的数的乘积为1,故所有高≤2010的数的乘积为1,这个数前面(包括这个数)所有数的积应为位于2/2009前面(包括这个数)所有高为2011的数的乘积,即

(2010/1)×(2009/2)×…×(3/2008)×(2/2009)=2010/1=2010

2.高不超过n的所有数的个数为

1+2+3+…+(n-1)= n(n-1)/2

故求满足n(n-1)/2≤2010最大整数得 n=63,即高不超过63的数共有62×63/2=1953个,故第2010个数应是高为64,2010-1953=57,故第2010个数应是高为64且排在同高数的第57个位置上,故第2010个数是7/57.

Answer 4

(1)2021054;(2)7/57