Question

问两道高二不等式题

1.若对x>0,y>0有(x+2y)(2/x+1/y)≥m恒成立，则m的取值范围？

2.设x＞0，y＞0，x^2+y^2/2=1。则x√1+y^2的最大值是多少？

求过程，好的加分~~~~

Answer 1

1：因为x>0,y>0，(x+2y)(2/x+1/y)=4+x/y+4y/x≥4+2√(x/y*4y/x)=8

当且仅当x=2y的时候取到等号，则m≤8

2：x＞0，y＞0

因为√(ab)≤(a+b)/2

x^2+y^2/2=1,所以2x^2+y^2=2

所以x√(1+y^2)=√2/2*√(2x^2)*√(1+y^2)≤√2/2*(2x^2+y^2+1)/2=3√2/4

当x=√2/2,y=1的时候取到等号

所以x√1+y^2的最大值是3√2/4

Answer 2

1.每项乘了，就看出来是均值不等式了2+2+2=6，那M就是小于等于6了
2.不会了

Answer 3

第二题手机显示不出，第一题，m小于等于8，打开括号，之后用均值不等式解

Answer 4

命题不完整···

Answer 5

1.
(x+2y)(2/x+1/y)=2+x/y+4y/x+2=4+x/y+4y/x>=6，则m=<6

2.
换元，x=cost,y=√2sint
下略

Answer 6

1.(x+2y)(2/x+1/y)≥m
[(x+2y)(2/x+1/y)]min≥m
而(x+2y)(2/x+1/y) = x·2/x + x/y + 4y/x + 2y·1/y
= 4 + x/y + 4y/x
≥4 + 2√4 （当且仅当x/y = 4y/x时取“=”）
=8
所以[(x+2y)(2/x+1/y)]min = 8
因此m≤8，也就是说m的取值范围是(-∞,8].

2.x²+y²/2 = 1，∴y²=2-2x²
x√(1+y²）
= x√(1+2-2x²）
= {√[2x²(3-2x²)]}/√2
≤{[2x²+（3-2x²）]/2}/√2
= 3/(2√2)
= 3√2/4
因此，x√1+y²的最大值是3√2/4.