Question

1+1/x的x次方的极限为什么是e？

Answer 1

在数列极限的部分已经证明了：当n趋近于无穷时，数列(1+1/n)^n趋近于一个常数，把这个常数记为e，这是e的定义（这是定义，不是证明出来的）。

把这个函数取自然对数，证明xln(1+1/x)趋近于1就可以了。

由于我们知道ln(1+y)可以做泰勒展开=1/x-1/2x^2+1/3x^3-，所以：

xln(1+1/x)=x*(1/x-1/2x^2+1/3x^3-……=1-1/2x+1/3x^2-，显然当x趋近于无穷时该函数趋近于1。

也就证明了当x趋近于无穷是(1+1/x)^x趋近于e。

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

要求解式子lim(x∞) (1 + 1/x)^x的极限，这会导致一个重要的极限，即自然对数的底数e。
证明过程如下：
考虑函数f(x) = (1 + 1/n)^n，其中n为正整数。我们想计算当n趋向于无穷大时，f(x)的极限。
首先，我们注意到当n增大时，(1 + 1/n)逼近于e^1/n。这是由于e的定义e = lim(x∞) (1 + 1/x)^x，其中右侧的部分(1 + 1/x)^x也是逼近于e的。所以我们有：
lim(n∞) (1 + 1/n)^n = lim(n∞) e^(1/n)
接下来，我们将分配幂指数，得到：
lim(n∞) e^(1/n) = e^lim(n∞) (1/n)
显然，当n趋向于无穷大时，1/n趋近于0。所以我们得到：
lim(n∞) e^(1/n) = e^0 = 1
因此，我们最终得到：
lim(n∞) (1 + 1/n)^n = 1
所以，当x趋向于无穷大时，(1 + 1/x)^x的极限是e。

Answer 3

当求解lim(x→∞) (1 + 1/x)^x时，其中x为自变量。
可以使用一种常见的极限定义，即lim(x→∞) (1 + 1/n)^n = e ，其中n为自然数。该极限定义是指当n趋近于无穷大时，(1 + 1/n)^n的极限值为常数e。
利用这个定义，可以推导出lim(x→∞) (1 + 1/x)^x的极限也等于e。
首先，改写(1 + 1/x)^x为(1 + 1/n)^n的形式，其中n=x。
进行代换后，lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = lim(n→∞) (1 + 1/n)^n。
根据极限定义，当n趋近于无穷大时，(1 + 1/n)^n的极限为e。
因此，lim(x→∞) (1 + 1/x)^x的极限也为e。
这样，我们可以得出结论，当x趋近于无穷大时，(1 + 1/x)^x的极限为常数e。