Question

高中数学必修5数列~~急~~在线等~~

设各项均为正数的无穷数列an bn满足，对任意的n∈N+都有2 bn=an+a(n+1) 且（a （n+1)）^2=bn*（b（ n+1 ）） 求证 根号下bn是等差数列

Answer 1

[a(n+1)]²=b(n)·b(n+1),于是[a(n)]²=b(n-1)·b(n)
由于a(n)＞0，所以
a(n+1) = √b(n)·√b(n+1),
a(n) = √b(n-1)·√b(n),
代入2b(n) = a(n) + a(n+1)
2√b(n)·√b(n) = √b(n-1)·√b(n) + √b(n)·√b(n+1)
两边约去√b(n),有
2√b(n) = √b(n-1) + √b(n+1)
也就是
√b(n+1) - √b(n) = √b(n) - √b(n-1)
这就证明了 √b(n)是等差数列。

Answer 2

a(n+1)=√(bn*b(n+1))

2bn=√(bn*b(n-1))+√(bn*b(n+1))

2√bn=√b(n-1)+√b(n+1)

显然√bn为等差数列

Answer 3

设cn=√bn,则
2cn^2=an+a(n+1），①
[a(n+1)]^2=cn^2*[c(n+1)^2,
因an>0,cn>0,故
a(n+1)=cn*c(n+1),
n>1时an=c(n-1)*cn,
代入①/cn，2cn=c(n-1)+c(n+1),
∴{cn}即{√bn}是等差数列。