Question

圆柱体和圆锥体的体积

Answer 1

圆柱体和圆锥体都是三维图形，三维图形不但是要求表面积，还有一个重要的部分就是体积。

一提到圆柱体，我们就可以想到长方体，因为长方体和圆柱体都可以通过平移的方式得到，唯一不一样的就是圆柱体平移的是一个圆形，而长方体平移的是一个长方形。那么既然这两个图形这样相似，那么就可以类比着长方体的体积公式，来推出圆柱体的体积公式。长方体的体积公式是长乘宽乘高，长乘宽也就是底面积，所以就是底面积乘高，用字母来表示，就是sh,s代表底面积h 代表高。既然都是平移过来的，那么就可以。那类比圆柱体的体积公式也是底面积乘高，所以是靠想象类比长方体体积公式得到的圆柱体的体积公式，但是这样并不可靠。并不是严谨的数学推理，它只能启发帮助思考某个结论。

我们刚才的猜想是圆柱体的体积和长方体的体积有关。那么我们可以试着用分割的方法。就是把圆柱体分割成许多个很小的三棱柱。然后试着把这些三棱柱拼接成一个长方体。这时候长方体的一条长，就是圆柱体底面的半个周长，也就是圆柱体底面的1/2。一条宽就是圆柱体底面的半径。而高是圆柱体的高。而长方体的面积公式是长乘宽乘高也就是底面积乘高。那么我们可以把长方体看成一个圆柱体，长就是原底面周长的一半也就是πr，宽是半径也就是r，而高也就等于圆柱体的高，那么就是h，所以可以得知，πrⅹrⅹh就等于圆柱体的体积。那么将它简化一下，就是πr的平方xh，πr的平方圆柱体的底面积，h就是圆柱体的高。所以可以推算出来，圆柱体的面积公式也是底面积乘高也是sh 。但是这样的分割并不严谨，因为它并不是非常标准的长方形。它的边长是弯弯曲曲的花边，但是我们可以思考，可以想到无限分割法。我们并不能动手去做这个无限分割的实验。但是我们可以在脑子里想，我们可以试着把三棱柱的边长变小，个数变多。然后有极限思想就可以把它变成无限的小，最后拼接起来就是一个非常标准的长方形了。

圆柱体可以通过长方体，来求体积公式。那圆锥体需要通过什么图形来求呢？圆锥体并不像圆柱体一样，可以通过垂直的平移得到图形。圆锥体下面和上面并不对称。所以它是没办法类比长方形正方形以内的图形，三角形不行，三棱锥也不行。可是我们画图可以发现同底同高圆柱体圆锥体是有一定的关系的。我们刚开始觉得圆柱体是两个圆锥体，但通过把圆锥体里程盛满沙子倒入圆柱体里，看看需要到几次，圆柱体就是圆锥体的几倍，这个实验发现需要倒三次。也就是说圆柱体是圆锥体的三倍。所以我们可以通过圆柱体的体积来类比出圆锥的体积。圆柱体的体积是底面积乘高，圆锥体的体积是圆柱体的体积除三。也就是1/3底面积乘高。或者也可以是圆锥的体积乘三等于圆柱的体积。总而言之，通过这个关系我们可以得知1/3Sh是圆锥体体积的公式。我们是通过物理实验法做实验来得到圆锥体的体积的。但是这样的方式并不严谨，圆柱体有可能是圆锥体的2.8倍，有可能是3.1倍，它没有通过严谨的数学推理证明。但是现目前还没有方法，用严谨的数学推理证明。圆锥体的体积公式，所以圆柱体是圆锥体的三倍，便达成了一个共识。

这就是圆锥体和圆柱体的体积。