Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求AD1与平面A1D1CB所成的角

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求AD1与平面A1D1CB所成的角

Answer 1

连接AB1和A1B，相交于点O ，连接OD1 。
因为，A1D1 ⊥ 平面AA1B1B，
所以，A1D1 ⊥ AB1 ；
因为，AB1 ⊥ A1D1 ，AB1 ⊥ A1B ，
所以，AB1 ⊥ 平面A1D1CB ；
因为，OD1在平面A1D1CB上，
所以，AB1 ⊥ OD1 ；
可得：∠OD1A就是AD1与平面A1D1CB所成的角。
不妨设正方体棱长为1，则有：AD1 = √2，OA = (1/2)√2 ；
因为，sin∠OD1A = OA/AD1 = 1/2 ，
所以，∠OD1A = 30°，
即：AD1与平面A1D1CB所成的角为30°。

Answer 2

在平面ABB1A1上作AH⊥A1B，垂足H，
因BC⊥平面ABB1A1，
AH∈平面ABB1A1，
BC⊥AD，
BC∩A1B=B，
故AH⊥平面A1D1CB,
<AD1H就是AD1与平面A1D1CB所成角，
设正方体棱长为1，
则AD1=√2，AH=√2/2，
sin<AD1H=AH/AD1=(√2/2)/√2=1/2,
<AD1H=30度，
AD1与平面A1D1CB所成的角为30度。