Question

有关偏导数的一道题的一个问题，我搞不明白...

（偏导数的符号不知道怎么打，就用导数符号代替了)
设x=rcosθ,y=rsinθ,函数f(x,y),则df/dr=df/dx·cosθ+df/dy·sinθ--------------------(1)
而df/dx=df/dr·dr/dx , df/dy=df/dr·dr/dy----------------(2)，dr/dx=1/cosθ ,dr/dy=1/sinθ，这样的话代入（2）式得df/dx=df/dr·1/cosθ ,df/dy=df/dr·1/sinθ，再代入（1）式，就矛盾了，变成df/dr=df/dr+df/dr=2df/dr ，为什么会是这样？我哪里推错了？

Answer 1

在极坐标下求偏导数，是可以根据极坐标和直角坐标的关系用链式法则求导的。

推导过程的问题出在dr/dx=1/cosθ ,dr/dy=1/sinθ这两个式子
原因是r和θ都是x,y的函数，即r=r(x,y), θ=θ(x,y)
实际上r(x,y)=√(x²+y²), θ=arctan(y/x)
所以不能把cosθ和sinθ作为常数处理

正确的推导过程是
∵x=rcosθ,y=rsinθ
∴r=√(x²+y²)
则dr/dx=2x/2√(x²+y²) =x/r=rcosθ/r=cosθ
dr/dy=2y/2√(x²+y²) =y/r=rsinθ/r=sinθ
代入(2)得
df/dx=df/dr·(cosθ), df/dy=df/dr·(sinθ)
代入(1)得
df/dr=df/dr·(cos²θ)+df/dr·(sin²θ)=df/dr

Answer 2

混淆了偏导和全导数的概念
df/dr=df/dx·cosθ+df/dy·sinθ--------------------(1)应该改为：
df/dr=偏f/偏x·cosθ+偏f/偏y·sinθ--------------------(1')
而偏f/偏x=df/dr·dr/dx , 偏f/偏y=df/dr·dr/dy----------------(2)是不成立的，因此也就不能将（2）代入（1'）式中了

Answer 3

df/dx=df/dr·dr/dx , df/dy=df/dr·dr/dy----------------(2)，这个式子有问题，你不知道f(x,y)的形式，也不能用df/dr·dr/dx ，不能反着推出来，f(x,y)是xy的函数。建议你看一下数学分析讲义（刘玉琏）第170也例9