Question

关于高等数学的幂级数的收敛域的问题

里面标准展开式中可以看到sinx和e^x的收敛域都是负无穷——正无穷，我想问下是怎么推出来的，我用根值法算的收敛域是-1——1。。。有人可以解答下吗，回答得好的话再加分~~
1楼的我看了下，貌似sinx那个不能套你列的这个定理，因为是x的2n-1次幂而不是n次幂，属于缺项类的

Answer 1

1)LZ说的对,缺项类不能使用定理,必须使用定义来做

2)当级数中有阶乘时,强烈建议使用比值法,不要用根值法

3)LZ你误算出(-1,1)我在下图也推测了一下是哪里错了

具体解答请见下图

Answer 2

幂级数里有一个求收敛半径的定理：
对幂级数∑Anx^n，若lim(n->∞)│An+1/An│=L,或lim(n->∞)√│An│=L
则幂级数∑Anx^n的收敛半径 1/L, 当0<L<+∞,
r=〈 +∞, 当L=0,
0, 当L=+∞.
现在根据这个定理来求它们的收敛域：
（1）∵sinx=∑(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!!
其中An=(-1)^n/(2n+1)!!
又lim(n->∞)│An+1/An│=lim(n->∞)[1/(2n+1)]=0
∴根据定理它的收敛半径r=+∞
故它的收敛域是（-∞，+∞）.
（2）∵e^x=∑x^n/n!
其中An=1/n!
又lim(n->∞)│An+1/An│=lim(n->∞)[1/(n+1)]=0
∴根据定理它的收敛半径r=+∞
故它的收敛域是（-∞，+∞）.
说明：当然这两题也可以用定理中的根值法lim(n->∞)√│An│=L来求出收敛半径，结果一样。