问一道关于导数的题
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设F(x)=f(x)/g(x)，
则F′(x)=[ f′(x)g(x)- f(x)g′(x)]/[g²(x)]<0在R上恒成立，
∴F(x) 在R上为减函数，
当a<x<b时，F(b)<F(x)<F(a)，
即f(b)/g(b)< f(x)/g(x)< f(a)/g(a)，
又f(x)>0，g(x)>0，
∴f(x)g(b)<f(b)g(x)，f(x)g(a)<f(a)g(x).
∴选择肢B、C是错误的；
设G(x)=f(x)g(x)，
则G′(x)= f′(x)g(x)- f(x)g′(x) <0在R上恒成立，
∴G(x) 在R上为减函数，
当a<x<b时，G(b)<G(x)<G(a)，
即f(b)g(b)< f(x)g(x)< f(a)g(a)，
∴选择肢A是正确的，D是错误的.
综上，选A.
则F′(x)=[ f′(x)g(x)- f(x)g′(x)]/[g²(x)]<0在R上恒成立，
∴F(x) 在R上为减函数，
当a<x<b时，F(b)<F(x)<F(a)，
即f(b)/g(b)< f(x)/g(x)< f(a)/g(a)，
又f(x)>0，g(x)>0，
∴f(x)g(b)<f(b)g(x)，f(x)g(a)<f(a)g(x).
∴选择肢B、C是错误的；
设G(x)=f(x)g(x)，
则G′(x)= f′(x)g(x)- f(x)g′(x) <0在R上恒成立，
∴G(x) 在R上为减函数，
当a<x<b时，G(b)<G(x)<G(a)，
即f(b)g(b)< f(x)g(x)< f(a)g(a)，
∴选择肢A是正确的，D是错误的.
综上，选A.
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