Question

很难的数列问题，谢谢啊！

已知在数列{an}中,a1=1,na（n+1）=2(a1+a2+a3+...+an)(n∈N*)，现设数列bn满足b1=1/2,b（n+1）=（（1/ak）×bn^2）+bn, 求证bn<1 （n≤k）

我已算出
an=n
我令n=k，则b（n+1）=（（1/an）×bn^2）+bn=（（1/n）×bn^2）+bn，
当算到b3时就大于1了，这是为什么。

Answer 1

an=n,且明显bn>0
b(n+1)=bn^2/k+bn=bn(bn+k)/k
两边取倒数，1/b(n+1)=k/[bn(bn+k)]=1/bn-1/(bn+k)
然后用叠加法
1/bn =1/b(n-1)-1/[b(n-1)+k]
1/b(n-1)=1/b(n-2)-1/[b(n-2)+k]
1/b(n-2)=1/b(n-3)-1/[b(n-3)+k]
..........
1/b3 =1/b2-1/(b2+k)
1/b2 =1/b1-1/(b1+k)
将这n-1个等式相加得，
1/bn=1/b1-{1/[b(n-1)+k]+1/[b(n-2)+k]+……+1/(b1+k)}
>2-(n-1)/k>1
所以bn<1
明白了吗

k是确定的数，不是随着bn变的，比如k=100，那{bn}就有b1,b2,……,b100
而此时b(n+1)=bn^2/100+bn

Answer 2

将算出的an=n带入bn的表达式中，不难通过逐差法求出Bn。然后考虑Bn的放缩性质，从分母着手，观察分子与分母的异同！~！