Question

f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)-g(x)=1/x+1,求 f(x),g(x)

Answer 1

解：
因为：f(x)是奇函数，
所以：f(-x)=-f(x)。
因为：g(x)是偶函数，
所以：g(-x)=g(x)
已知：f(x)-g(x)=1/(x+1)
即：f(x)=g(x)+1/(x+1)
f(-x)=g(-x)+1/(1-x)=g(x)+1/(1-x)=-f(x)
即：f(x)=1/(1-x)-g(x)
所以，有：1/(1-x)-g(x)=g(x)+1/(x+1)
2g(x)=1/(1-x)-1/(x+1)
=(x+1)/[(1-x)(1+x)]-(1-x)/[(1-x)(1+x)]
=(x+1-1+x)/[(1-x)(1+x)]
=2x/(1-x^2)
所以：g(x)=2/(1-x^2)
f(x)=1/(1+x)+g(x)
=1/(1+x)+2/(1-x^2)
=(1-x+2)/(1-x^2)
=(3-x)/(1-x^2)
综合起来，有：
f(x)=(3-x)/(1-x^2)
g(x)=2/(1-x^2)

Answer 2

将-x代入f(x)-g(x)=1/x+1，得f(-x)-g(-x)=-1/x+1，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，所以f(-x)-g(-x)=-1/x+1可化为-f(x)-g(x)=-1/x+1，将此式与f(x)-g(x)=1/x+1相加得-2g(x)=2，相减得-2f(x)=-2/x，所以f(x)=1/x,g(x)=-1.

Answer 3

f(-x)-g(-x)=-1/x+1
-f(x)-g(x)=-1/x+1-----(1)
将(1)式与已知式相减,
得
2f(x)=2/x
f(x)=1/x
g(x)=-1

1/x+1 是指1/x+1还是1/(x+1)
不加括号一般默认为前者