Question

急！！！一道组合题，请高手解答

在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：
（1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；
（2）这些矩形的所有顶点（重复的只计算一次）恰好为100个整点（横、纵坐标均为整数的点称为整点）。
问：最多能画出多少个这样的矩形？说明你的理由。
（要详细过程，没过程的不给分！）

Answer 1

这个问题稍微有点复杂，需要分两步来解答。

第一步先证明“N个整点，如果占据K个与坐标轴平行的直线的话，那么最多能画出C(K,2)×C(N/K,2)个矩形，C(M,N)为在M个元素里去N个的组合数”；
第二步求C(K,2)×C(N/K,2)的在K为变量时的最大值为C(根号N,2)^2。

第一步的证明可以用数学归纳法加二次函数的特性来证明；
第二步的解答只需要直接展开，再利用基本不等式就能求出。

答案是C(10,2)^2=45^2=2025。

具体怎么做，如果还不明白，给我回复一下，下次我写详细的过程。