Question

求面积为9,而体积最大的长方体的体积

Answer 1

设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z，则由题意得：
2xy + 2xz + 2yz = 9 （表面积公式）
体积 V = xyz
根据求最值的方法，我们需要将表面积公式中的一个变量用另外两个变量表示出来，然后将它代入体积公式中，得到一个只有一个变量的式子。然后求这个式子的导数，令导数等于零，从而得到这个变量的取值。最后将这个值代入体积公式中，就可以得到最大的体积。
我们可以通过将表面积公式化简来解出 z：
2xy + 2xz + 2yz = 9
2z(x + y) = 9 - 2xy
z = (9 - 2xy) / 2(x + y)
将 z 代入体积公式，得到：
V = x y (9 - 2xy) / 2(x + y)
接下来，我们要求这个式子的导数，然后令导数等于零，求出 x 和 y 的值。
V' = [9x^2 - 4xy^2 - 18xy + 9y^2] / (2(x + y)^2)
令 V' = 0，解得：
9x^2 - 4xy^2 - 18xy + 9y^2 = 0
因为我们要求的是长方体的体积最大值，所以要求导数 V' 的值等于零，但这个方程中有两个变量，所以我们需要继续处理这个方程。
将这个方程移项，得到：
9x^2 + 9y^2 = 18xy + 4xy^2
将右侧的项提取出一个 y，得到：
9x^2 + 9y^2 = (18 + 4y)xy
将右侧的项提取出一个 x，得到：
9x^2 + 9y^2 = (18 + 4x)yx
因为 x、y 和 9 都是正数，所以可以将等式两侧同时除以 xy，得到：
9(x/y)^2 + 9 = (18 + 4(x/y))(x/y)
令 t = x/y，得到：
9t^2 + 9 = (18 + 4t)t
将式子化简，得到：
9t^2 + 9 = 18t + 4t^2
移项，得到：
5t^2 - 18t + 9 = 0
使用求根公式，得到：
t = (18 ± √(18^2 - 4×5×9)) / (2×5)
t = (18 ± 12) / 10
t = 3/5 或 t = 3
因为长方体的长、宽、高必须是正数，所以 t = 3/5，即 x = 3y/5。
将 x 和 y 的值代入表面积公式和体