Question

数学对数函数

f（x）=lg（x+根号（x2+1））
证明在R上递增
用定义证明 就是设X1小于X2 然后作差 我不会算

Answer 1

x+√（x2+1）对于任何x都大于0，所以定义域为R.
f（x）=lg[x+√(x^2+1）]
导函数f'(x)=1/ln10*[x+√(x^2+1)]
*[1+2x/2√(x^2+1)
=1/ln10*[x+√(x^2+1)]*[1+x/√(x^2+1)]
对于任何x，
1/ln10*[x+√(x^2+1)]>0,
x/√(x^2+1)>-1,即1+x/√(x^2+1)>0
所以f'(x)>0
即在R上递增

常规方法：
设g(x)=x+√(x^2+1)，先证明g(x)的单调性。
在R上取任意x1>x2
g(x1)-g(x2)
=[x1+√(x1^2+1)]-[x2+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[(x1^2+1)-(x2^2+1)]/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]+(x1+x2)}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
因为√(x1^2+1)+x1>0，√(x2^2+1)+x2>0（不管x是正是负，明显啊，就不说了）
所以{[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)] >0
又x1-x2>0，
所以g(x1)-g(x2)>0
所以g(x)在定义域R内是增函数
所以当x1>x2时，g(x1)>g(x2),
即x1+√(x1^2+1)>x2+√(x2^2+1)>0(至于大于0容易知道，对数嘛），
即[x1+√(x1^2+1)]/[x2+√(x2^2+1)]>1

对于f（x）=lg[x+√(x^2+1）]
f（x1)-f(x2)
=lg[x1+√(x1^2+1)]-lg[x2+√(x2^2+1)]
=lg[x1+√(x1^2+1)]/lg[x1+√(x1^2+1)]
>lg1=0
所以在R上f（x）是增函数。