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当 a>0 时，f(x)在（0，+∞）上是单调递增的
证明：
设 x1 x2 在（0，+∞）上 且 x1<x2
则 f(x1)-f(x2)
=(ax1^2+1)-(ax2^2+1)
=a(x1^2-x2^2)
=a(x1-x2)(x1+x2)
因为 x1>0 x2>0 x1<x2 a>0
所以上式<0
即 f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)当 a>0 时，f(x)在（0，+∞）上是单调递增的
当 a<0 时，f(x)在（0，+∞）上是单调递减的
证明：
设 x1 x2 在（0，+∞）上 且 x1<x2
则 f(x1)-f(x2)
=(ax1^2+1)-(ax2^2+1)
=a(x1^2-x2^2)
=a(x1-x2)(x1+x2)
因为 x1>0 x2>0 x1<x2 a<0
所以上式>0
即 f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)当 a<0 时，f(x)在（0，+∞）上是单调递减的
证明：
设 x1 x2 在（0，+∞）上 且 x1<x2
则 f(x1)-f(x2)
=(ax1^2+1)-(ax2^2+1)
=a(x1^2-x2^2)
=a(x1-x2)(x1+x2)
因为 x1>0 x2>0 x1<x2 a>0
所以上式<0
即 f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)当 a>0 时，f(x)在（0，+∞）上是单调递增的
当 a<0 时，f(x)在（0，+∞）上是单调递减的
证明：
设 x1 x2 在（0，+∞）上 且 x1<x2
则 f(x1)-f(x2)
=(ax1^2+1)-(ax2^2+1)
=a(x1^2-x2^2)
=a(x1-x2)(x1+x2)
因为 x1>0 x2>0 x1<x2 a<0
所以上式>0
即 f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)当 a<0 时，f(x)在（0，+∞）上是单调递减的
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