Question

解不等式.

一楼的写的有点看不清。
而且，那方法很麻烦。
有没有别的方法啊？

Answer 1

这道题可以构造局部不等式：
考虑如下局部不等式：
x/(1+x^2)-3/10<=(18/25)(x-1/3)........(1)
上式等价于：50x<=(36x+3)(1+x^2)
<=>36x^3+3x^2-14x+3>=0
<=>36(x-1/3)^2(x+3/4)>=0
由于本题a,b,c>=0，上式显然成立。故(1)式得证。
于是对于本题我们利用(1)有：
a/(1+a^2)-3/10<=(18/25)(a-1/3)
b/(1+b^2)-3/10<=(18/25)(b-1/3)
c/(1+c^2)-3/10<=(18/25)(c-1/3)
上三式相加得a/(1+a^2)+b/(1+b^2)+c/(1+c^2)-9/10<=(18/25)(a+b+c-1)=0

于是a/(1+a^2)+b/(1+b^2)+c/(1+c^2)<=9/10成立。原不等式得证。

Answer 2

用调整法：
令t=(a+b)/2
f(a,b,c)=a/(a^2+1)+b/(b^2+1)+c/(c^2+1)
f(a,b,c)-f(t,t,c)
=a/(1+a)^2+b/(1+b^2)-2t/(1+t)^2
=[(a+b)(ab-3)(a-b)^2]/[4(a^2+1)(b^2+1)(t^2+1)]
<0
即f(a,b,c)<=f(t,t,c)
f(t,t,c)=f(t,t,1-2t)
=2t/(1+t)^2+(1-2t)/[1+(1-2t)^2]

下证2t/(1+t)^2+(1-2t)/[1+(1-2t)^2]<=9/10
通分，整理展开得
(3t-1)^2(t^2-2t+2)>=0
此式显然成立

因此，f(a,b,c)<=f(t,t,c)<=9/10