Question

arctanx公式

Answer 1

　　arctanx=1/(1+x2)。arctanx是正切函数，其定义域是｛x|x≠（π／2)+kπ，k∈Z}，值域是R。arctanx是反正切函数，其定义域是R，反正切函数的值域为（－π／2,π／2）。

　 　推导过程：

　　设x=tant，则t=arctanx，两边求微分。

　　dx=[(cos²t+sin²t)/(cos²x)]dt。

　　dx=(1/cos²t)dt。

　　dt/dx=cos²t。

　　dt/dx=1/(1+tan²t)。

　　因为x=tant。

　　所以上式t'=1/(1+x²)。

　　 反函数求导法则：

　　如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，

　　[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

　　[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy。

　　这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

　　例：设x=siny，y∈[−π2,π2]x=siny，y∈[−π2,π2]为直接导数，则

　　y=arcsinxy=arcsinx是它的反函数，求反函数的导数。