Question

离散数学(集合论基础)

Answer 1

通常情况下
用带或不带下标的大写英文字母表示集合: A,B, C, · · · , A1,B1, C1, · · ·
用带或不带下标的小写英文字母表示元素: a, b, c, · · · , a1, b1, c1, · · ·

若 a 是集合 A 中的元素，则称 a属于A，记为 a ∈ A
若 a 不是集合 A 中的元素，则称 a不属于A，记为 a ∈/ A

列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号 (· · ·) 表示。

通过刻画集合中元素所具备的某种性质或特性来表示一个集合。
P = {x|P(x)}

文氏图是利用平面上的点来做成对集合的图解方法。一般使用平面上的方形或圆
形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。

集合 A 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 |A|
若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(finite set)
若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集(infinite set)

不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作 ∅.
空集可以符号化为 ∅ = {x|x ̸= x}.
空集是绝对唯一的。

针对一个具体范围，我们考虑的 所有对象的集合叫做全集(universal set) ，记作 U 或 E.在文氏图一般使用方形表示全集。
全集是相对唯一的

集合中的元素是无序的 。{1, 2, 3, 4} 与 {2, 3, 1, 4} 相同。
集合中的元素是不同的 。{1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2} 与 {1, 2, 3, 4} 相同。

外延性原理
两个集合 A 和 B 相等，当且仅当它们的元素完全相同，记为 A = B, 否则 A 和 B不相等，记为A ̸= B.

设 A,B 是任意两个集合，

由子集定义可有
∅ ⊆ A
A ⊆ A

设 A, B 为任意两个集合，则 A = B ⇔ A ⊆ B 并且 B ⊆ A

子集个数 真子集个数

设 A 为任意集合，把 A 的所有不同子集构成的集合叫做 A 的幂集(power set), 记作 P(A)，即，P(A) = {x|x ⊆ A}

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的并集定义为：
A ∪ B = {x|x ∈ A 或 x ∈ B}

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的交集定义为：
A ∩ B = {x|x ∈ A 并且 x ∈ B}

设 U 是全集，则集合 A 的补集定义为：
A = {x|x ∈/ A}

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的差集定义为：
A − B = {x|x ∈ A 并且 x ∈/ B}

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的对称差集定义为：
A ⊕ B = {x|(x ∈ A 并且 x ∈/ B)或者(x ∈/A 并且 x ∈ B)}

对于两个有限集合而言，比较二者的大小只需要看集合的基数，但对于无限集合
却没有这么简单。如何比较无限集合的“大小”呢？这里需要采用一种通过判断
两个无限集合之间是否存在一种一一对应的关系来解决这个问题。

从有限到无限，不仅仅是简单数量上的变化 (量变)，而引起了本质的改变 (质变)。