Question

高中数学椭圆

设A是椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）长轴上的一个顶点，若椭圆上存在点p，使AP⊥OP，求椭圆离心率e的取值范围。

Answer 1

设P(x0,y0)
则x0²/a²+y0²/b²=1
从中解出y0²=b²(1-x0²/a²)
不妨设A(a,0)
向量AP=(x0-a,y0) 向量OP=(x0,y0)
因为AP⊥OP
所以两个向量的数量积=(x0-a)x0+y0²=0
代掉其中的y0²得
x0²-ax0+b²(1-x0²/a²)=0
解出x0
根据-a<x0<a列得关于a,b,c的不等式，从中解出离心率范围！

Answer 2

那么设P(acosθ,bsinθ),A(c,0)
依据：PO⊥AP
→(bsinθ)/(acosθ)*(bsinθ)/(acosθ-c)=-1
化简得到→e²cos²θ-ecosθ+1-e²=0
→△≥0
→e²≥3/4
→e≥√3/2
因为0<e<1,→eε[√3/2,1)