Question

特征值为什么大于等于零

Answer 1

因为x不全为0，带入标准型后可能只有一个x不为0，所以为了避免这种情况必须特征值全部大于0。

特征值和特征向量的意义就在于此，矩阵所充当的映射，实际上就是对特征向量的缩放，每个特征向量的缩放程度就是特征值。

特征值和特征向量

特征值和特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵（既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量）乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量。

变换的效果与方阵的构造有密切的关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维变量逆时针旋转30度。

可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵（或者说这个变换自身）没有特征向量（注意：特征向量不能是零向量）。