Question

一道超级难做的数学题

已知f(x)=x^2-4，设曲线y=f(x)在点（Xn，f（Xn））处切线与x轴的交点为（Xn+1）（n∈N*）其中Xn为正实数（1）a1=4，记lg（（Xn+2）/（Xn-2）），证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式（2）若x1=4，bn=xn-2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn<3

Answer 1

分这么少`````
算了.今天心情好.。就帮你解答吧。。

先求一下该抛物线上任意一点处切线方程。（能记住更好.）
设点(Xn,Xn^2-4)在抛物线f(x)上.
则抛物线该点的斜率为
k=f'(Xn)=2Xn
所以该切线为,
y-(Xn^2-4)=k(x-Xn) 。。。。。。。。（点斜式）
即.
y=2Xn*x-Xn^2-4
它在x轴上的交点的横坐标为
x=(Xn^2+4)/2Xn

那么由题意得
Xn+1=(Xn^2+4)/2Xn

然后。。。。。。
an=lg（（Xn+2）/（Xn-2）） 吧。。。按理说是这样的.。。。

（1）an=lg（（Xn+2）/（Xn-2））.
跟a(n+1)对比一下.（这个会吧。。）
可以得到啊a(n+1)=2a(n)
则{an}成等比数列.且公比为2.

(an=4????我之前作的是x1=4,那我就当x1=4解了啊。。高考题.。。)

直接求an通项（等比数列）.
得啊an=2^(n-1)a1=2^（n-1）lg[(X1+2)/(X1-2)]=2^(n-1)lg3

即(Xn+2)/(Xn-2)=3^(2n-1)
所以

Xn=2[3^(2n-1)+1]/[3^(2n-1)-1]

（2）由上知Xn=2[3^(2n-1)+1]/[3^(2n-1)-1]

则bn=Xn-2=4/[3^(2n-1)-1]
由于直接求Tn无法求.下面需要一点放缩.
Tn=b1+b2+....+bn
=4[1/(3^1-1)+1/(3^3-1)+1/(3^5-1)+.....+1/(3^7-1)]
>=4[1/2^1+1/2^3+1/2^5+......+1/2^(2n-1)]
..................................................................
这里用到了一个结论3^(2n-1)-1>=2^(2n-1)。。。这个一般都得知道。有兴趣自己证明一下.。。。。。然后括号里面就是公比为1/4的等比数列了.
..................................................................
=4[2（1-1/4^n）/3]
=8/3-1/（3*4^（n-1））
<8/3
<3

得证!！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

好了该洗洗睡了.。