Question

高一数学函数题

⒈已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数且f（x）＜0，试判断F（x）＝1／[f（x）] 在（0，+∞）上的单调性并证明。
⒉已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）＝
f（x）+f（y），f（2）＝1。 解不等式f（x）－f（x－2）＞3

Answer 1

1）令0<x1<x2
因为 F(x)=1/f(x)
所以 F(x1)-F(x2)=1/f(x1) - 1/f(x2)
=[f(x2) - f(x1)]/[f(x1)f(x2)]
因为f(x)为增函数，且f(x)<0
那么f(x2)-f(x1)>0 f(x1)f(x2)>0
则F(x1)-F(x2)==f(x2) - f(x1)]/[f(x1)f(x2)]>0

即 当x1<x2时 F(x1)>F(x2）
故F(x)在（0，+∞）上为减函数

由f（xy）＝f（x）+f（y）得：
f（2*2）＝f（2）+f（2）=2
f（2*4）＝f（2）+f（4）= 2+1 = 3
所以，原不等式变为 f（x）＞3 +f（x－2）=f(8) + f（x－2）= f(8x-16)
即 f（x）＞f(8x-16)
因为函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
所以x > 8x-16
所以2<x<16/7

选我的吧，在做任务呢~~~

Answer 2

令0＜x1＜x2
则F（x1）/F（x2）=1／[f（x1）] /1／[f（x2）]
=f（x2） /f（x1）
由于y=f（x）在（0，+∞）上为增函数且f（x）＜0 那么f（x1）＜f（x2）＜0
所以f（x2） /f（x1）＞1
即F（x1）/F（x2）＞1 所以F（x）为减函数

f（x）－f（x－2）＞3
f（x）－f（x－2）＞f（2）+2
f（x）＞f（x-2）+f（2）+2
f（x）＞f（2x-4）+2
令x=y=2 则f（4）＝f（2）+f（2） 所以f（4）=2
原式f（x）＞f（2x-4）+2
f（x）＞f（2x-4）+f（4）
f（x）＞f[（2x-4）*4]
f（x）＞f[8x-16]
因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
所以x＞8x-16 且x＞0 8x-16＞0
2＜x＜16/7

Answer 3

1.令0<x1<x2
F(x)=1/f(x)
即F(x1)-F(x2)=1/f(x1) - 1/f(x2)
=[f(x2) - f(x1)]/[f(x1)f(x2)]
因为f(x)为增函数，且f(x)<0
那么f(x2)-f(x1)>0 f(x1)f(x2)>0
则F(x1)-F(x2)==f(x2) - f(x1)]/[f(x1)f(x2)]>0
故F(x)在（0，+∞）上为减函数
2.因为f（xy）＝f（x）+f（y）且f(2)=1
那么f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2
f(8)=f(4*2)=f(4)+f(2)=2+1=3
f（x）－f（x－2）＞3
即f(x)>f(x-2)+f(8)
则f(x)>f[(x-2)*8]
因为 函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函
则x-2>0 x>[(x-2)*8]
故2<x<16/7