Question

一道高一简单的数学题

若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1.x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是
Af(x)为奇函数Bf(x)为偶函数Cf(x+1)为奇函数Df(x+1)为偶函数
答案是选择C，请详细解释一下每个选项，遇到这类题该怎么想

Answer 1

若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1.x2∈R有
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是
Af(x)为奇函数
Bf(x)为偶函数
Cf(x+1)为奇函数
Df(x+1)为偶函数
解：从奇函数、偶函数的定义出发。
f(0)=2f(0)+1,f(0)=-1,
若A成立，则f(0)=-f(0),f(0)=0,矛盾。
-1=f(x-x)=f(x)+f(-x)+1,
f(-x）=-2-f(x),弃B.
f(x+1)=f(x)+f(1)+1,
f(-x+1)=f(-x)+f(1)+1,
相加得f(x+1)+f(-x+1)=f(0)+f(2)=f(2)-1,?
条件不足。

Answer 2

先算x=0得F（x）=-1
因为f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1
令x1+x2=0
得f（0）=f(x1)+f(x2)+1
即f(x1)+f(x2)=-2
当f(x)为奇函数时f(x1)+f(x2)=0不符题意
当f(x)为偶函数时得2f（x）=-2
即f(x)为常数-1但不能确定
因为f(x1)+f(x2)=-2
所以f(x1+1)+Df(x2+1)=0
即Df(x+1)为奇函数

Answer 3

先用特值法得f(0)=-1 再有f(x-x)=f(x)+f(-x)+1 f(x)与f(x+1)非奇非偶而f(x)+1是奇函数