Question

设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA ⑴求B的大小 ⑵求cosA+sinC的取值范围

Answer 1

解1：求B的大小
过C点作AB的垂线CD，其中CD交AB于D点。
则在三角形ACD中，CD=ACsinCAD=bsinA
在三角形BCD中，BC=a=2bsinA
所以sinB=CD/BC=bsinA/2bsinA=1/2
因为三角形ABC是锐角三角形，所以，角B是锐角，而sinB=1/2，B=30°

解2：求cosA+sicC的取值范围
因为B=30°，而ABC为锐角三角形，A+C=180°-30°=150°，所以，要得出答案，就要用上这个已知条件。
cosA=sin(90°-A)
sicC=sin(180°-B-A)
cosA+sicC=sin(90°-A)+sin(180°-B-A)
利用三角函数的关系：sinα＋sinβ＝2sin[(α+β)/2]·cos[(α+β)/2]得：
cosA+sicC=sin(90°-A)+sin(180°-B-A)
=2sin{[(90°-A)+ (180°-B-A)]/2}]·cos{[(90°-A)-(180°-B-A)]/2}
=2sin(120°-A)·cos(-30°)
=√3sin(120°-A)…………………………………………………………（1）式
因为A是锐角，即0＜A＜90°
所以30°＜120°-A＜120°
所以1/2＜sin(120°-A)＜1
所以√3/2＜√3sin(120°-A)＜√3
所以cosA+sicC的取值范围是（√3/2，√3）