Question

高数中的有界问题

函数在定义域内有界的充要条件是既有上届也有下界

Answer 1

任给x∈D,有界的意思是|f(x)|≤P,上界的意思是f(x)≤M,下界的意思是f(x)≥m;
1°若有界，那么存在P,使得任给x∈D，有|f(x)|≤P，所以-P≤f(x)≤P,于是P为f(x)的上界，-P为f(x)的下界；这就证明了必要性；

2°若既有上界又有下界，那么存在M,m,使得任给x∈D,有f(x)≤M且f(x)≥m，
所以取P = max(|M|,|m|),则|f(x)|≤P,也就说明函数f(x)有界为P;这就证明了充分性；

综上，函数在定义域内有界的充要条件是既有上界也有下界 。

Answer 2

你的这些问题就是一个问题，有界要求同时有上界和下界，存在M>0对于任意an都有|an|<M，于是-M<an<M，就有上界和下界；反过来也一样。单独的只有上界或只有下界不能成为有界。