Question

已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,正无穷)

Answer 1

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问题描述:

已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,正无穷)若对任意x∈[1,正无穷)，f(x)〉0恒成立，求实数a的取值范围请写过程

解析:

f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x +2

f(x)>0

x+a/x>-2

当a>=0时

f(x)是对钩函数 最小值是 x=√a 时

即 2√a >-2 因为√a >0 所以a∈[0,正无穷)时均成立

当a<0时

f(x)是一个增函数 最小值是x=1时

1+a>-2

所以a>-3 所以a∈(-3,0)

所以综上所述 a∈(-3,正无穷)

我再加一种做法

因为f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,正无穷)

f(x)>0

x^2+2x+a>0即可

(x+1)^+a-1>0

此时此函数满足x最小时成立即都可成立

x=1时 4+a-1>0

a>-3