Question

a,b为实数,求a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值？

Answer 1

哈哈高手真多,看到姚兄给出的解法,我也来凑个热闹.给出一种求法.
柯西不等式：
a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意六个实数,
则(a1²+a2²+a3²)(b1²+b2²+b3²)≥(a1b1+a2b2+a3b3)²,
等号成立(a1,a2,a3)=t(b1,b2,b3)
证明：运用到空间坐标系和空间向量知识
可设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),因为|a|²|b|²≥|ab|²
所以(a1²+a2²+a3²)(b1²+b2²+b3²)≥(a1b1+a2b2+a3b3)².
等号成立,等价于ab,等价于(a1,a2,a3)=t(b1,b2,b3).
在本题中：
[a²+b²+(2a-3b+4)²][(-2)²+3²+1²]≥[-2a+3b+(2a-3b+4)]²=16
所以：a^2+b^2+(2a-3b+4)^2≥8/7
等号成立：a/-2=b/3 =(2a-3b+4)/1 ,解得：a=-4/7,b=6/7
所以a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值为8/7,7,可以将这个式子看做是个二元函数的表达式，即令F(a，b)=a^2+b^2+(2a-3b+4)^2
根据一元函数求导求极点的思路，对这个二元函数进行求导，不过是求偏导数。
对a求偏导数得Fa=10a-12b+16（把b当作常数）
对b求偏导数得Fb=20b-12a-24（把a当作常数）
令Fa=0，Fb=0，则可以求出a=-4/7，b=6/7。因为只有一组解，所以点（...,2,a^2+b^2+(2a-3b+4)^2
=a^2+b^2+[(2a-3b+x)+(4-x)]^2
=a^2+b^2+(2a-3b+x)^2+2(4-x)(2a-3b+x)+(4-x)^2
=a^2+2(8-2x)a+b^-2(12-3x)b+(2a-3b+x)^2+16-x^2
=(a+8-2x)^2+(b-12+3x)^2+(2a-3b+x)^2-14x^2+10...,0,
a^2+b^2+(2a-3b+4)^2
=5a²+10b²+16a-24b-12ab+16
=(a+8)²+(b-12)²+(2a-3b)²-192
由此可知a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值为
-192
睡了一觉醒来，意识到上面的解答有误。打开电脑，发现已由学兄“183685775”...,0,