Question

已知函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x）f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x.y∈R),则f(2010)的值为多少

Answer 1

令x=1，y=0
得4f(1)f(0)=2f(1)
f(0)=2*1/4=1/2
再令 y=1
得 f(x)=f(x+1)+f(x-1)----①
f(x-1)=f(x)+f(x-2)----②
①②相加得 f(x+1)+f(x-2)=0
f(x+1)=-f(x-2)
x+1和x-2相差3,而3应该是半周期
所以f(x)周期为6
f(2010)=f(6*335)=f(0)=1/2

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