Question

巳知a,b,c是三角形的三边,并且a+b+c=2p求证:a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)请写详细的过程,谢谢指教!

<同一题>(2) 求证: abc>=8(p-a)(p-b)(p-c)

Answer 1

1.a-b<c,b-c<a,c-a<b,所以，(a-b)^2<c^2,(b-c)^2<a^2,(c-a)^2<b^2
然后将上面三个式子相加即得答案，很简单的。
2.令c>=b>=a,△ABC的面积为√p(p-a)(p-b)(p-c)=1/2absinC 所以，(p-a)(p-b)(p-c)=0.25（ab）^2/psin0.25（ab）^2/psin0.25（ab）^2/psin0.25（ab）^2/psin^2C.即证abc>=2（ab）^2/psin^2C即c>=2ab/psin^2C,sin^2C<=pc/2ab
下面易证

Answer 2

1、2(ab+bc+ac)=2ab+2bc+2ac=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)>a²+b²+c²
2、8(p-a)(p-b)(p-c)=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
(b+c-a)(a+c-b)≤(b+c-a+a+c-b)²/4=c²
(a+c-b)(a+b-c)≤(a+c-b+a+b-c)²/4=a²
(b+c-a)(a+b-c)≤(b+c-a+a+b-c)²/4=b²
三式相乘
[(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)]²≤a²b²c²
(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)≤abc