Question

数学 急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急

已知关于X的绝对值方程丨X2+aX+b丨=2 ，其中 a，b属于实数
（1）当a，b满足什么条件是，方程的解集M中恰有3个元素？
（2）试求以M中的3个元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件
需要详细严谨的解释！！！！

Answer 1

解：
（1）化解丨x^2+ax+b丨=2得：
x^2+ax+b=2 或 x^2+ax+b=-2
即x^2+ax+b-2=0 或 x^2+ax+b+2=0
当方程x^2+ax+b-2=0 和 x^2+ax+b+2=0的解集M中恰有3个元素时，必有一个方程有两个不相等的实数根，且另一个方程有两个相等的实数根，即
当a^2-4(b-2)=0时a^2-4(b+2)＞0，将a^2=4b-8代入后式得-16＞0，不成立
当a^2-4(b+2)=0时a^2-4(b-2)＞0，将a^2=4b+8代入后式得16＞0，成立
所以当a，b满足a^2=4b+8时，方程的解集M中恰有3个元素
(2)令方程x^2+ax+b-2=0 的两个根为x1，x2且x1＞x2，方程 x^2+ax+b+2=0的根为x3，则：
x1+x2=-a ①
x1*x2=b-2 ②
x3=-a/2 ③
当以M中的3个元素为边长的三角形，恰好为直角三角形时，
因为x1+x2=2x3，所以x1＞x3＞x2＞0
由勾股定理可知：x1^2=x2^2+x3^2即(x1+x2)(x1-x2)=x3^2 ④
将①和③代入④得：x1-x2=-a/4 ⑤
联立①、⑤解得：x1=-5/8a，a2=-3/8a
则x1*x2=15/64a^2 ⑥
将⑥代入②，解得b=7
又a^2=4b+8，且a＜0，解得a=-6
所以以M中的3个元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件为a=-6，b=7