Question

高分求助两道高二关于圆的方程的数学题目

求助两道高二数学题目
1、已知圆C：（x-3）^2+(y-4)^2=1，点A(0，-1)，B（0，1），设P是圆C上的动点，令d=PA^2+PB^2,求d的最大值和最小值
2、已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（a，0）（a≠0）距离之比为k的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状

Answer 1

1.已知圆C：（x-3）^2+(y-4)^2=1，点
A(0，-1)，B（0，1），设P是圆C上的动点，令d=PA^2+PB^2,求d的最大值和最小值
解：设P(3+cosa,4+sina),
d=(3+cosa)^2+(5+sina)^2
+(3+cosa)^2+(3+sina)^2
=54+12cosa+16sina
=54+20sin(a+b),
其中b=arctan(3/4),
∴d的最大值=74，最小值=34.

2.令该曲线上的任一点为(x,y)，则
根号（x^2+y^2）/根号[(x-a)^2+y^2]=k
则（x^2+y^2）/[(x-a)^2+y^2]=k^2
整理为：
(1-k^2)*x^2+(1-k^2)*y^2+2*k^2*x-a^2*k^2=0
分为以下情形：
（1）当k=0时，曲线为一个点(0,0)
（2）当k=1时，曲线方程为x=1/2*a^2,曲线为一平行于y轴的直线x=1/2a^2
（3）当1>k>0时,曲线方程为[x-k^2/(1-k^2)]^2+y^2=a^2+[k^2/(1-k^2)]^2，该曲线为一个圆；
（4)当k>1时，曲线方程为[x-k^2/(1-k^2)]^2+y^2=[k^2/(1-k^2)]^2-a^2
分为以下情形：
(i)当k^2/(1-k^2)]^2-a^2=0时，曲线为一个点（k^2/(1-k^2)，0）
（ii）当k^2/(1-k^2)]^2-a^2<0时，曲线无解
(iii)当k^2/(1-k^2)]^2-a^2>0时，曲线为一个圆。

Answer 2

1、已知圆C：（x-3）^2+(y-4)^2=1，点
A(0，-1)，B（0，1），设P是圆C上的动点，令d=PA^2+PB^2,求d的最大值和最小值
解：设P(3+cosa,4+sina),
d=(3+cosa)^2+(5+sina)^2
+(3+cosa)^2+(3+sina)^2
=54+12cosa+16sina
=54+20sin(a+b),
其中b=arctan(3/4),
∴d的最大值=74，最小值=34.

2、已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（a，0）（a≠0）距离之比为k的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状
解：设动点P(x,y),由|PO|/|PA|=k得
PO^2=(kPA)^2,
∴x^2+y^2=k^2*[(x-a)^2+y^2],
∴(k^2-1)(x^2+y^2)-2ak^2x+a^2*k^2=0.①
k=1时①变为2x=a,表示线段AO的垂直平分线；
k≠1时，①表示圆。

Answer 3

1、点P是圆C：（x-3）^2+(y-4)^2=1上动点,
可设P(3+sinx,4+cosx)
d=(4+sinx)^2+(4+cosx)^2+(2+sinx)^2+(4+cosx)^2=54+12sinx+16cosx
d=54+20sin(x+α）
∴当sin(x+α）=1时，即12sinx+16cosx=20时，d取最大值74
此时sinx=3/5,cosx=4/5,P点坐标(18/5,24/5)
当sin(x+α）=-1时，即12sinx+16cosx=-20,d取最小值34

2、设P(x,y)
根号（x^2+y^2)/根号[(x-3)^2+y^2]=1/2
解出为x^2+y^2+6x=9
曲线是圆

Answer 4

1、令P(3+cosα,4+sinα)，A属于[0,π],
则d=PA^2+PB^2=2*（3+cosα）^2+(4+sinα+1)^2+(4+sinα-1)^2
=2*cosα^2+12*cosα+52+2*sinα^2+16*sinα
=54+20*cos(α+β)
当cos(α+β)=1时，dmax=74;
当cos(α+β)=-1时，dmax=54;
2、令该曲线上的任一点为(x,y)，则
根号（x^2+y^2）/根号[(x-a)^2+y^2]=k
则（x^2+y^2）/[(x-a)^2+y^2]=k^2
整理为：
(1-k^2)*x^2+(1-k^2)*y^2+2*k^2*x-a^2*k^2=0
分为以下情形：
（1）当k=0时，曲线为一个点(0,0)
（2）当k=1时，曲线方程为x=1/2*a^2,曲线为一平行于y轴的直线x=1/2a^2
（3）当1>k>0时,曲线方程为[x-k^2/(1-k^2)]^2+y^2=a^2+[k^2/(1-k^2)]^2，该曲线为一个圆；
（4)当k>1时，曲线方程为[x-k^2/(1-k^2)]^2+y^2=[k^2/(1-k^2)]^2-a^2
分为以下情形：
(i)当k^2/(1-k^2)]^2-a^2=0时，曲线为一个点（k^2/(1-k^2)，0）
（ii）当k^2/(1-k^2)]^2-a^2<0时，曲线无解
(iii)当k^2/(1-k^2)]^2-a^2>0时，曲线为一个圆。