Question

机械能问题

如图，固定于竖直面内的粗糙斜杆，在水平方向的夹角为30°，质量为m的小球套在杆上，在大小不变的拉力作用下，小球沿杆由低端匀速运动到顶端，为使拉力做功最小，拉力F与杆的夹角α=？拉力大小F=？

Answer 1

沿着杆方向正交分解：

杆竖直方向，弹力：N=|mgcos30°-Fsina|
杆水平方向平衡：
|mgsin30°-Fcosa|=uN=u|mgcos30°-Fsina|

要使拉力做功最小，即使Fcosa最小。

分类讨论：
1. mgsin30°-Fcosa>0, mgcos30°-Fsina>0
mgsin30°-Fcosa=u(mgcos30°-Fsina)
Fcosa最小，则要Fsina最小，最小是0，a=0.
F=mg(sin30°-ucos30°)

2. mgsin30°-Fcosa<0, mgcos30°-Fsina>0
Fcosa-mgsin30°=u(mgcos30°-Fsina)
Fcosa最小，则要mgcos30°-Fsina最小，最小是0：
Fcosa-mgsin30°=0，mgcos30°-Fsina=0
可得：F=mg, a=60°

3. mgsin30°-Fcosa>0, mgcos30°-Fsina<0
mgsin30°-Fcosa=u(Fsina-mgcos30°)
Fcosa最小，则要Fsina最大，最大时，a=90°.
mgsin30°=u(F-mgcos30°)，解出F=mg(sin30°/u+cos30°)
但是这种情况小球不可能自动沿杆由低端匀速运动到顶端，不符合题意，必须舍去！

4. mgsin30°-Fcosa<0, mgcos30°-Fsina<0
Fcosa-mgsin30°=u(Fsina-mgcos30°)
Fcosa最小，则要Fsina-mgcos30°最小，最小是0.
这个和第二种情况是一样的！

综合可知：第一种情况Fcosa最小，拉力做功最小。

所以：拉力F与杆的夹角α=0，拉力大小F=mg(sin30°-ucos30°).