Question

已知函数f(x)的图像与函数h（x)=x+1/x+2的图像关于点A（0,1）对称。

（1）求f(x)的解析式；
（2）若g(x)=f(x)*x+ax，且g(x）在区间（0,2）上为减函数，求实数a的取值范围。
请写出详细过程，谢谢！

Answer 1

（1）若h(x)对应x和y,且f(x)对应x'和y',
{即（x，y）是h(x)上的点,（x'，y'）是f(x)上的点}
那么根据条件，就有y+y'=2,x+x'=0
从而得到y'=2-y=2-x-(1/x)-2=-x-(1/x)=x'+(1/x')
即函数f(x)=x+(1/x)

（2）g(x)=f(x)*x+ax
=x^2+ax+1

要使g(x)在区间(0.2]上为减函数
则对称轴方程-a/2≥2即可
得a≤-4

也可以用求导做：
在区间(0.2]上,
g'(x)=2x+a≤0
使g'(2)=4+a≤0即可,
得a≤-4

Answer 2

(1)若h(x)对应x和y,且f(x)对应x'和y',
{即(x，y)是h(x)上的点,(x'，y')是f(x)上的点}
那么根据条件，就有y+y'=2,x+x'=0
从而得到y'=2-y=2-x-(1/x)-2=-x-(1/x)=x'+(1/x')
即函数f(x)=x+(1/x)
(2)g(x)=x+1/x+a/x
g(x)=x+(1+a)/x
求一阶导数
g`(x)=1-(1+a)/x^2
g(x)=在区间(0,2】上为减函数,
1+a<0
a<-1