Question

一道高中函数解答题

函数 f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x<0时， f（x）<1
问（1）：求证， f（x）在R上为增函数
问（2）：若f（4）=7，解不等式f（2x+1）<4
要求有步骤，先谢过啦。

Answer 1

⑴设x1<x2则f(x1-x2)<1,
所以f(x1)=f(x1-x2+x2)=f（x1-x2）+f（x2）-1
<1+f（x2）-1=f（x2）,
所以 f（x）在R上为增函数
⑵f（x+y）=f（x）+f（y）-1中,
令x=y=2得f(4)=2f(2)-1=7,
所以f(2)=4,
f（2x+1）<4即f（2x+1）<f(2),
因为 f（x）在R上为增函数,
所以2x+1<2,x<1/2