Question

设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x-3，讨论方程f(x)=2a-3(a∈R)的根

Answer 1

解:设x<0,则-x>0,f(-x)=(-x)²-2(-x)-3=x²+2x-3
∴当x<0时,f(x)=x²+2x-3
当x≥0时,f(x)=x²-2x-3
如图,讨论顺序从最下面一条线逐步网上讨论.
当2a-3＜-4,即a<-1/2时,∵f(x)≥-4>2a-3,∴无实数根
当2a-3=-4,即a=-1/2时,f(x)=-4,有2个交点,则x=±1
当-4＜2a-3＜-3,即-1/2＜x＜0时,f(x)=2a-3,有4个交点,x=1±√(2a+1),x=-1±√(2a+1)
当2a-3=-3,即a=0时,f(x)=-3,有3个交点,x=0,x=±2
当2a-3＞-3,即a>0时,f(x)=2a-3,有2个交点,x=1+√(2a+1),x=-1-√(2a+1)

综上所述:
当a<-1/2时,无实数跟
当a=-1/2时,x=±1
当-1/2＜x＜0时,x=1±√(2a+1),x=-1±√(2a+1)
当a=0时,x=0,x=±2
当a>0时,x=1+√(2a+1),x=-1-√(2a+1)