Question

在等差数列an中,（an>0）且a1+a2+...+a10=30,则a5*a6的最大值等于

Answer 1

设等差数列的公差为d.
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=30
(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=30
(a5-4d+a6+4d)+(a5-3d+a6+3d)+(a5-2d+a6+2d)+(a5-d+a6+d)+(a5+a6)=30
5(a5+a6)=30
a5+a6=6
a5=6-a6
设y=a5×a6
则：y=a5×a6=(6-a6)×a6=6×a6-(a6)^2
即：y=6×a6-(a6)^2
（说明：利用均值不等式,可以很容易得到最终的解.也可利用抛物线的性质求解.下面用求导的方法解决）
y'=6-2×a6
令y'=0,即：6-2×a6=0
解得：a6=3,即a6=3时,y有最大值.
将a6=3代入y,有：y=6×a6-(a6)^2=6×3-3^2=9,
此即为y的最大值.
因此y≤9,即：a5×a6≤9.