Question

一道初三几何题

如图 P为正方形ABCD上一点 ∠BAP的平分线交BC于Q
求证 AP=DP+BQ

Answer 1

延长CD至E使DE=BQ
易知△ABQ≌△ADE
∠AQB=∠E=∠DAQ
∵∠AQB=∠DAQ=∠DAP+∠PAQ
且∠EAD=∠PAQ=∠QAB
∴∠DAP+∠PAQ=∠DAP+∠EAD
∠DAQ=∠EAP=∠E
∴AP=EP
AP=DP+BQ

Answer 2

将三角形ABQ逆时针旋转90度，AB与AD重合，新Q标记为Q'，DQ'=BQ
角DAQ'=角2
因为AD平行与CB，所以角DAQ=角DAP+角1=角AQB
又因为AQ是角平分线，所以角1=角2=角DAQ'，所以角Q'AP=角DAQ
前面证过角DAQ=角AQB，而角AQB=角AQ'D
所以角AQ'D=角Q'AP，三角形Q'AP是等腰三角形（Q'P=AP=Q'D+DP），又因为Q'D=BQ，所以
AP=DP+BQ