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延长CD至E使DE=BQ
易知△ABQ≌△ADE
∠AQB=∠E=∠DAQ
∵∠AQB=∠DAQ=∠DAP+∠PAQ
且∠EAD=∠PAQ=∠QAB
∴∠DAP+∠PAQ=∠DAP+∠EAD
∠DAQ=∠EAP=∠E
∴AP=EP
AP=DP+BQ
易知△ABQ≌△ADE
∠AQB=∠E=∠DAQ
∵∠AQB=∠DAQ=∠DAP+∠PAQ
且∠EAD=∠PAQ=∠QAB
∴∠DAP+∠PAQ=∠DAP+∠EAD
∠DAQ=∠EAP=∠E
∴AP=EP
AP=DP+BQ
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将三角形ABQ逆时针旋转90度，AB与AD重合，新Q标记为Q'，DQ'=BQ
角DAQ'=角2
因为AD平行与CB，所以角DAQ=角DAP+角1=角AQB
又因为AQ是角平分线，所以角1=角2=角DAQ'，所以角Q'AP=角DAQ
前面证过角DAQ=角AQB，而角AQB=角AQ'D
所以角AQ'D=角Q'AP，三角形Q'AP是等腰三角形（Q'P=AP=Q'D+DP），又因为Q'D=BQ，所以
AP=DP+BQ
角DAQ'=角2
因为AD平行与CB，所以角DAQ=角DAP+角1=角AQB
又因为AQ是角平分线，所以角1=角2=角DAQ'，所以角Q'AP=角DAQ
前面证过角DAQ=角AQB，而角AQB=角AQ'D
所以角AQ'D=角Q'AP，三角形Q'AP是等腰三角形（Q'P=AP=Q'D+DP），又因为Q'D=BQ，所以
AP=DP+BQ
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