Question

高一函数单调性

1.函数f（x）在[0，+∝）上是单调减函数，f（x）不=0且f（2）=1，判断函数F（x）=f（x）+1/f（x）在[0，2]上的单调性。

2.以知函数f(x) ，当x，y属于R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y) ，当x大于0时，f（x）大于0，试判断f(x）在（0，+∝）上的单调性。

求详细解答过程，谢谢！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

设 0≤a<b≤2
∵ 函数f（x）在[0，+∝）上是单调减函数,f（2）=1
∴ 1=f(2)≤f(b)≤f(a)

F(b)-F(a) = [f(b)+1/f(b)] - [f(a)+1/f(a)]
= [f(b)-f(a)] + [f(a)-f(b)]/f(a)f(b) ∵f(a)-f(b) ≥0 , f(a)f(b) ≥1
≤[f(b)-f(a)] + [f(a)-f(b)] = 0
∴ 函数F（x）=f（x）+1/f（x）在[0，2]上单调递增。

设 0<a<b , b-a>0 ,f(b-a)>0
f(b)-f(a) = f(a+(b-a)) - f(a) = f(a)+f(b-a) - f(a) = f(b-a) > 0
∴f(x）在（0，+∝）上单调递增。