Question

请教高中数学题啊~~~谢谢帮助~~~好的话加分

1、在数列{an}中,a1=1,它的前n项和为Sn,且Sn,S（n+1）,2a1成等差数列，求Sn
2、设无穷等比数列{an}的公比为q（|q|<1）,首项为1，数列的和为S，数列的前n项和为Sn，求lim（S1+S2+S3+…+Sn-nS）
要详细过程谢谢~~~

Answer 1

解答过程：

1/
由Sn,S（n+1）,2a1成等差数列，所以Sn+2a1=2S(n+1),采用配项的方法，设Sn+x为以1/2为公比的等比数列，则S(n+1)+x=1/2(Sn+x),求出x=-2，所以Sn-2是以-1为首项，以1/2为公比的等比数列，所以Sn=2+(-1)(1/2)^(n-1)
=2-(1/2)^(n-1)

2、Sn=(1-q^n)/(1-q),s=1/(1-q);所以S1+S2+S3+…+Sn-nS=n*[1/(1-q)]-(q+q^2+q^3+...+q^n)/(1-q)-n*1/(1-q)=)]-(q+q^2+q^3+...+q^n)/(1-q)
=q(1-q^n)/(1-q)^2;所以极限值=q/(1-q)^2

Answer 2

解：

1、

Sn,S（n+1）,2a1成等差数列,则

S(n+1)-Sn=2a1-S(n+1)

a(n+1)=2a1-[Sn+a(n+1)]

2a(n+1)-2a1=Sn，n∈N+，……※

即Sn=2a(n+1)-2……①

S(n-1)=2an-2……②

①-②，得

an=2a(n+1)-2an

∴a(n+1)/an=3/2=q，n≥2，且n∈Z，

由※式，得2*a2-2=(2+a2)，得a2=4

∴an=a2*q^(n-2)=4*(3/2)^(n-2)，n≥2，且n∈Z，

∵a2/a1=2≠q,

∴当n=1时，Sn=S1=2

当n≥2时，

Sn

=a1+(a2+a3+……+an)

=2+4[1-(3/2)^(n-1)]/(1-3/2)

=2+8[-1+(3/2)^(n-1)]

=-6+8*(3/2)^(n-1)

此即所求

2、S=a1/(1-q)=1/(1-q)

Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)=(1-q^n)/(1-q)

S1+S2+S3+……+Sn

=[1/(1-q)]*[(1-q)+(1-q²)+(1-q³)+……+(1-q^n)]

=[1/(1-q)]*[n-(q+q²+q³+……+q^n)]

=n/(1-q)-(q+q²+q³+……+q^n)/(1-q)

∴S1+S2+S3+…+Sn-nS

=-(q+q²+q³+……+q^n)/(1-q)

∴当n趋近于+∞时，

lim(S1+S2+S3+…+Sn-nS)

=-[q/(1-q)]/(1-q)

=-q/(1-q)²

谢谢！