数学期望和方差公式怎么推导的?

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数码达人小沫
2023-07-16 · 超过260用户采纳过TA的回答
知道小有建树答主
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数学期望和方差是统计学中常用的概念,可以从数学上描述数据的集中度和离散度。

数学期望的推导:
设随机变量X的概率密度函数或概率分布为f(x),数学期望定义为E(X) = ∫xf(x)dx,即随机变量X每个可能取值的概率乘以该取值的数值,然后对所有可能取值进行求和或求积分。

方差的推导:
方差用来衡量随机变量的离散程度,方差的定义为Var(X) = E((X-E(X))^2),即随机变量X与其数学期望的差的平方的数学期望。可以通过以下步骤推导方差的公式:
1. 展开方差公式:Var(X) = E(X^2 - 2XE(X) + (E(X))^2)
2. 使用期望的线性性质:Var(X) = E(X^2) - 2E(X)E(X) + (E(X))^2
3. 化简得:Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2

通过上述推导,我们可以得到数学期望和方差的公式。这些公式在统计学和概率论中有广泛的应用。
北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-07-25 广告
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心隐yffs
2022-12-23 · TA获得超过8235个赞
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由X~N(0,4)与Y~N(2,3/4)为正态分布得:

X~N(0,4)数学期望E(X)=0,方差D(X)=4;

Y~N(2,3/4)数学期望E(Y)=2,方差D(Y)=4/3。

由X,Y相互独立得:

E(XY)=E(X)E(Y)=0×2=0,

D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4×4/3=16/3,

D(2X-3Y)=2²D(X)-3²D(Y)=4×4-9×4/3=4

扩展资料 :

1. 正态分布性质:

⑴ 一般正态分布记为X~N(μ,σ²),标准正态分布记为X~N(0,1)。

⑵ 一般正态分布转化为标准正态分布:若X~N(μ,σ²),Y=(X-μ)/σ ~N(0,1)。

⑶ 正态分布数学期望为E(X)=μ,D(X)=σ²。

2. 数学期望与方差性质:

设C为一个常数,X和Y是两个随机变量,有如下性质:

⑴ 数学期望性质:

E(C)=C,E(CX)=CE(X),E(X+Y)=E(X)+E(Y),在X和Y相互独立时有E(XY)=E(X)E(Y)。

⑵方差性质:

D(C)=0,D(CX)=C²D(X),D(X+C)=D(X),在X和Y相互独立时有D(X+Y)=D(X)+D(Y)。

参考资料 :

百度百科_数学期望

百度百科_正态分布

百度百科_方差

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