Question

请教大家一道高中数学函数题。

已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，f（1／2）＝－1,当且仅当0＜x＜1时f（x）＜0,且对任意x,y属于（－1，1）都有f（x）＋f（y）＝f｛（x＋y）／（1＋xy）,证明：
1.f（x）为奇函数。
2.f（x）在（－1，1）上单调递减。

Answer 1

x=y=0 得f（0）＋f（0）＝f｛（0＋0）／（1＋0*0）},f(0)=0
令y=-x f（x）＋f（-x）＝f｛（x-x）／（1-xx）}=f(0)=0 故为奇函数

令0<x1<x2<1,因为f(x)为奇函数
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f｛（x2-x1)／（1-x1x2）}
0<x1<x2<1
x2-x1>0 0<x1x2<1
1-x1x2>0
（x2-x1)／（1-x1x2)>0
又因为
0<x1<1, 0<x2<1
x1+1>0, x2-1<0

(x1+1)(x2-1)<0
x1x2-x1+x2-1<0
即有 x2-x1<1-x1x2
(x2-x1)/(1-x1x2)<1
所以 0<(x2-x1)/(1-x1x2)<1
当且仅当0＜x＜1时f（x）＜0
所以 f｛（x2-x1)／（1-x1x2）}<0
即f(x2)-f(x1)<0
故f(x)在(0,1)为减函数
又有f(x) 为奇函数
所以f(x)在(-1,1)为减函数

Answer 2

1. 因为f（x）＋f（y）＝f[（x＋y）／（1＋xy）]
所以，当x=y=0时，有f（0）＋f（0）＝f（0／1），得到f（0)=0
又令y=-x,得f（x）＋f（-x）＝f[（x-x）／（1-xx）]=f（0)=0
所以有f（x）=-f（-x），在加上x的定义域（－1，1），就证明f（x）为奇函数。
2. 要证明f（x）在（－1，1）上单调递减，由于f(x)是奇函数，所以只要证明
f（x）在（0，1）单调递减即可。
设任意x2,x1属于（0，1），并且x2 > x1
因为f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f[（x2-x1）／（1-x2x1）]
而x2-x1>0,1-x2x1>0,所以（x2-x1）／（1-x2x1）>0,由0＜x＜1时f（x）＜0,得到f[（x2-x1）／（1-x2x1）]<0
所以f(x2)-f(x1)<0，证明了f（x）在（－1，1）上单调递减。