Question

已知ABCD满足A+B=C+D，A的三次方+B的三次方=C的三次方+D的三次方

求证：A的2001此方+B的2001此方=C的2001此方+D的2001此方

Answer 1

可以用完全归纳法。
由已知可以得到 A的平方+B的平方=C的平方+D的平方,AB=CD
设当n=k时，有A的k次方+B的k次方=C的k次方+D的k次方成立，
所以（A的k次方+B的k次方）（A+B）=(C的k次方+D的k次方）（C+D），
展开可得，
A的k+1次方+B的k+1次方+AB(A的k-1次方+B的k-1次方）=C的k+1次方+D的k+1次方+CD(C的k-1次方+D的k-1次方),
而AB(A的k-1次方+B的k-1次方）=CD(C的k-1次方+D的k-1次方），所以可知，上述等式，对一切正整数n成立
当n=2001时，得证

Answer 2

A的三次方+B的三次方=C的三次方+D的三次方
A的2001此方+B的2001此方=C的2001此方+D的2001此方
即(A的三次方+B的三次方)的667次方=(C的三次方+D的三次方)的667次方