Question

复合函数求极限运算定理

Answer 1

复合函数求极限运算定理是设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，y=f[g(x)]在点X0的某去心领域内有定义，若limx→x0,g(x)=u0,limu→u0，f(u)=A，且存在∂0>0，当x∈U(x0,∂0)时，有g(x)≠u0,则limx→x0，f[g(x)]=limu→u0，f(u)=A。

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A”已经足够取得高精度计算结果）的过程中。

复合函数求极限的步骤：

复合函数求极限，先对内层函数求得x0处的极限u0，再求外层函数在u0处的极限。这给求复杂函数的极限提供了一个途径：先把复杂函数分解成2层(甚至多层)复合函数，只要各层函数都满足定理条件，则可由内而外逐次求极限。