Question

必修二数学问题2

Answer 1

PD=AD=DC=a,
PA=PC=√2a,
根据勾股逆定理，△PAD和△PCD均是等腰RT△，
PD⊥AD，PD⊥CD，
AD∩DC=D，
PD⊥平面ABCD，
在平面ABCD上，延长DC，作BE//AC，交DC延长线于E，
则〈PBE就是AC和PB所成角，
BD=√2a,
BD∈平面ABCD，
PD⊥BD,
PB=√3a,
BE=AC=√2a,
PD⊥DE，
DE=2a,
PE=√5aq,
PB^2+BE^2=5a^2,
PE^2=5a^2,
根据勾股逆定理,△PBE是RT△，
∴〈PBE=90度，
即AC和PB成角为90度。
2、设AC与BD交于O，
由前所述，PD⊥平面ABCD，
AO⊥BD，
故AO⊥平面PDB，
S△POB=S△PDB/2=a*√2a/2/2=√2a^2/4,
因AB⊥AD，根据三垂线定理，AB⊥AP，（或勾股逆定理）
S△PAB=AP*AB/2=√2a^2/2，
△POB是S△PAB在平面PDB上的投影，
设二面角A-PB-D平面角为θ，
S△PAB*cosθ=S△POB,
cosθ=(√2a^2/4)/(√2a^2/2)=1/2,
θ=60度，
即二面角A-PB-D为60度。