Question

高一数学题~~

已知f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，若f（a-2）-f（4-a2）＜0，求实数a的取值范围

Answer 1

在[0,1)上是增函数
则0<=a<b<1时，f(a)-f(b)<0
f(x)是偶函数
所以f(-a)=f(a),f(-b)=f(b)
所以-1<-b<-a<=0
则f(-b)-f(-a)=f(b)-f(a)>0
所以f(x)在(-1,0]是减函数

定义域
-1<a-2<1,1<a<3
-1<a^2-4<1,3<a^2<5
要符合1<a<3
所以√3<a<√5

f(a-2)-f(4-a^2)<0
所以f(a-2)-f(a^2-4)<0
f(a-2)<f(a^2-4)

若a-2<0,a^2-4<0
减函数，a-2>a^2-4
a^2-a-2<0,-1<a<2
所以√3<a<2

若a-2>0,a^2-4>0
增函数
a-2<a^2-4
a^2-a-2>0
a>2,a<-1
所以2<a<√5

若0<a-2<1,-1<a^2-4<0
则-1<2-a<0
f(x)在(-1,0]是减函数
所以2-a>a^2-4
a^2+a-6<0
-3<a<2
所以√3<a<2

若-1<a-2<0,0<a^2-4<1
则-1<4-a^2<0
f(x)在(-1,0]是减函数
所以a-2>4-a^2
a^2+a-6>0
a<-3,a>2
所以2<a<√5

所以
√3<a<2和2<a<√5

Answer 2

因为f(x)是定义在(-1,1)上,所以
-1<a-2<1
-1<4-a^2<1
解得√3<a<√5
另因为f(x)为(-1,1)上得偶函数,且在（0，1）上为增函数，由题意得
f(a-2)<f(4-a^2)
得|a-2|<|a^2-4|
|a-2|<|a-2||a+2|
得a-2不=0
|a+2|>1
解得a<-3或a>-1且a不=2
综上,得√3<a<√5且a不=2