Question

如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF＝FE，求证（1）△ABD≌△ACE（2）AF⊥DE

Answer 1

证明：

1）

因为AB＝AC，∠BAC＝90°，

所以△ABC为等腰直角三角形

所以∠B＝∠ACB＝45°,

又因为EC⊥BC，

所以∠ECB＝90°

所以∠ACE＝45°

所以∠B＝∠ECA

又因为BD＝CE

所以△ABD≌△ACE（SAS）

2）

由1）知△ABD≌△ACE

所以AD＝AE

所以A点是DE的垂直平分线上的点

（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

因为DF＝EF

所以F点也是DE的垂直平分线上的点

所以直线AF是DE的垂直平分线

所以AF⊥DE

（注意：原题目中没有说明F是DE的中点，上述证明无论点F在何处总是成立的）

供参考！JSWYC

Answer 2

1.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，所以△ABC为等腰直角三角形
∴∠B=∠ACB=45°,
又∵EC⊥BC，∴∠ECB=90°∴∠EAC=∠ECB-∠ACB=45°
∵AB＝AC,∠B=∠ACE,BD=CE（边角边原理）
∴△ABD≌△ACE

2.求证AFD⊥DE

证明：
连接AD AE
∵△BAC是等腰直角三角形
∴∠ABC=∠BAC=45
又因为CE⊥BC，∴∠ACE=45
∵AB=AC BD=CE ∠ABD=∠ACE=45
∴△ABD≌△ACE AD=AE
∴△DAE是等腰三角形
而DF=EF F点为△DAE底边中点
等腰三角形底边中线垂直该三角形的底边
∴ AF垂直DE