总体X~N(μ,σ^2),有样本X1,X2,…Xn,设Y=0.5(Xn-X1),则Y~_____.
总体X~N(μ,σ^2),有样本X1,X2,…Xn,设Y=0.5(Xn-X1),则Y~_____.
X~N(0,σ^2)E(X1+X2)=EX1+EX2=0D(X1+X2)=DX1+DX2=2σ^2X1+X2~N(0,2σ^2)同理：X1-X2~N(0,2σ^2)所以1/√2σ(X1+X2)~N(0,1)1/√2σ(X1-X2)~N(0,1)所以1/2σ^2(X1+X2)^2~X^2(1)X^2(n)代表自由度为n的卡方分布同理1/2σ^2(X1-X2)^2~X^2(1)令A=1/2σ^2(X1+X2)^2B=1/2σ^2(X1-X2)^2所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2=1/2σ^2(X1+X2)^2/1/2σ^2(X1-X2)^2=A/B=(A/1)/(B/1)而这就是F(1,1)分布的定义所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2~F(1,1)
总体X，有样本x1，x2，Xn ，求协方差Cov（X1+Xn，X1-Xn）
由协方差的性质，
Cov（X1+Xn，X1-Xn）=Cov（X1+Xn,X1)-Cov（X1+Xn，Xn)
=Cov（X1,X1)+Cov（Xn,X1)-Cov（X1，Xn)-Cov（Xn，Xn)
由协方差的无序性
=Cov（X1,X1)-Cov（Xn，Xn)
=varX1-varX2
又样本x1，x2，...，Xn 属于同一总体
varX1-varX2=0
Cov（X1+Xn，X1-Xn）=0
求平均数：⑴5x1，5x2.5xn⑵x1-y1，x2-y2.xn-yn⑶x1，y1，x2，y2.xn，yn
第一个5*[n*（1+n)/2]/n,第2个就是[(x1+x2+~+xn)-(y1+y2+~+yn)]/n，第三个(x1+y1+x2+y2+~+xn+yn)/n
设有整数x1,x2,……xn，使x1+x2+……+xn=0,x1x2……xn=n,证明：4|n
首先，x1,x2,……xn不可能全不为1或-1，否则|x1x2……xn|>|x1|+|x2|+……+|xn|>n
若n为奇数，则x1,x2,……xn除了有限个绝对值不为1的数外，其余都为1和-1
而这些绝对值不为1的数必然都是奇数
若有偶数个这样的数，则无论其正负如何，其代数和只能为偶数，而n是奇数，故
1和-1总共有奇数个，它们的代数和不可能为偶数，矛盾。
若有奇数个这样的数，则无论其正负如何，其代数和只能为奇数，但有偶数个1和
-1，也矛盾。
若2|n但4不整除n，那x1,x2,……xn中除了一个数为2或-2外，其余为奇数或±1，
若有偶数个奇数，则其代数和为偶数，加上±2后仍为偶数，但只有奇数个±1，
矛盾。
若有奇数个奇数，则其代数和为奇数，加上±2后仍为奇数，但只有偶数个±1，
矛盾。
故4|n
设X1,X2.Xn来自总体为N(0,σ^2)分布的样本则且随机变数Y=C(∑xi)^2~x^2(1)则常数C是
X1,X2......Xn来自总体为N(0,σ^2)=>∑xi~N(0,nσ^2)=>∑xi/√(nσ^2)~N(0,1)=>[∑xi/√(nσ^2)]^2~x^2(1)=>
C=nσ^2
y=（x-x1）+（x-x2）+（x-x3）+…+（x-xn）怎么化为y=nx-2（x1+x2+x3+…+xn）x+（x1+x2+x3+…+xn），
每一个完全平方式都展开即可，例如：（x-x1）=x-2xx1+x1，依次类推，然后再合并同类项，即可。
Xi>=0,X1+X2.+Xn=1,n>=2,求证X1X2(X1+X2)+.+X1Xn(X1+Xn)+X2X3(X2+X3).Xn-1Xn(Xn-1+Xn)<=1/4
证明：
先证一个结论。
设x，y≥0且x+y≤ 2/3，则(1-x) x^2+(1-y) y^2 ≤ (1-x-y) (x+y)^2。
(1-x) x^2+(1-y) y^2-(1-x-y) (x+y)^2
=[(1-x) x^2-(1-x-y)x^2]+[(1-y) y^2-(1-x-y)y^2]-2xy(1-x-y)
=yx^2+xy^2-2xy(1-x-y)
=xy[3(x+y)-2]
≤0
-------------------------------------------------
下面用数学归纳法来证明原命题。
当n=2时，容易验证结论是正确的。
设当n=m (m≥2)时，原命题是正确的。
当n=m+1时，不失一般性，设X1≥X2≥X3≥......≥Xm≥ Xm+1，则Xm+Xm+1≤2/(m+1)≤2/3。
(若Xm+ Xm+1>2/m，则 2=2(X1+X2+...+Xm+Xm+1)=(X1+X2)+(X2+X3)+...+(Xm+Xm+1)+(Xm+1+X1)≥(m+1)(Xm+Xm+1)>2，矛盾。)
用刚开始得到的结论，显然有：(1-Xm)(Xm)^2+(1-Xm+1)(Xm+1)^2≤(1-Xm-Xm+1)(Xm+Xm+1)^2。
设Y1=X1，Y2=X2，...，Ym-1=Xm-1，Ym=Xm+Xm+1，则
X1X2(X1+X2)+...+X1Xn(X1+Xn)+X2X3(X2+X3)...XmXm+1(Xm+Xm+1)
=(1-X1)(X1)^2+(1-X2)(X2)^2+......+(1-Xm)(Xm)^2+(1-Xm+1)(Xm+1)^2
≤(1-Y1)(Y1)^2+(1-Y2)(Y2)^2+......+(1-Ym)(Ym)^2
≤1/4，
证毕。
总体X服从引数为P的0-1分布，（X1,X2,……,Xn）是取自X的样本 可以判断（X1,X2,……,Xn）~b（n，p）吗？
(X1,…,Xn)是个随机向量，B(n,p)是一个随机变数的分布，二者维数不同。
应该是X=X1+…+Xn~B(n,p)就对了，前提是诸Xi彼此独立。可以直接求X的分布列验证。
设x1,x2,……,xn是正数，求证（x1+x2+……+xn)(1/x1 +1/x2 +……+1/xn )≥n^2
数学归纳法：
n=1 x1*1/x1 =1>=1^2=1
n=2,(x1+x2)(1/x1 +1/x2 )=1+x1/x2+x2/x1+1=2+(x1^2+x2^2)/x1x2
>=2+2x1x2/x1x2=2+2=4=2^2
设n=k时结论成立，即（x1+x2+……+xk)(1/x1 +1/x2 +……+1/xk )≥k^2
当n=k+1时
[x1+x2+……+xk+x(k+1)][1/x1 +1/x2 +……+1/xk+1/x(k+1 )]
=(x1+x2+……+xk)(1/x1 +1/x2 +……+1/xk )+ x(k+1)[1/x1 +1/x2 +……+1/xk+1/x(k+1 )]+[x1+x2+……+xk+x(k+1)]1/x(k+1 )
x(k+1)/x1 +x1/x(k+1)= [x(k+1)^2+x1^2]/x1*x(k+1)>=2
同理x(k+1)/x2 +x2/x(k+1)>= 2.....
x(k+1)/x(k+1) +x(k+1)1/x(k+1)>=2
x(k+1)[1/x1 +1/x2 +……+1/xk+1/x(k+1 )]+[x1+x2+……+xk+x(k+1)]1/x(k+1 )>=2(k+1)
[x1+x2+……+xk+x(k+1)][1/x1 +1/x2 +……+1/xk+1/x(k+1 )]
>=k^2+2(k+1)>(k+1)^2 即当n=k+1时也成立
故命题成立，证毕。
设x1 x2 ……xn属于R+ 且x1+x2+……+xn=1求证 x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)≥ 1/(n+1)
会柯西不？
由柯西不等式：X1^2/(1+X1)+X2^2/(1+X2)+……Xn^2/(1+Xn)>=(X1+X2+……+Xn)^2/(n+X1+X2+……Xn)=1/(n+1)
得证。
