Question

在1≤X≤2的条件下求函数y=-x^2+2ax+1的最大值和最小值

Answer 1

y=-x^2+2ax+1=-(x-a)²+a²+1.
此二次函数的开口向下，对称轴为x=a,
下面就对称轴与已知定义域[1,2]的相对关系分几种情况讨论。
a≤1时，函数在[1,2]上递减，最小值是f(2)=- 4+4a+1=4a-3.
最大值是f(1)=-1+2a+1=2a.
1<a≤3/2时，最大值是f(a)=- a²+2 a²+1= a²+1.
最小值是f(2)= 4a-3.
3/2<a≤2时，最大值是f(a)=- a²+2 a²+1= a²+1.
最小值是f(1)=-1+2a+1=2a.
a>2时，函数在[1,2]上递增，最大值是f(2)=- 4+4a+1=4a-3.
最小值是f(1)=-1+2a+1=2a.