Question

奇偶函数范围问题

已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x,若不等式af（x）+g（2x）≥0对x∈（0，1】恒成立，则实数a的取值范围是？？
我很感谢二位 不过在我解除两个函数代入后 就不会了啊

Answer 1

f(x)+g(x)=2^x...................1
f(-x)+g(-x)=2^(-x)
-f(x)+g(x)=2^(-x)..............2

由1和2知，f(x)= [ 2^x-2^(-x) ] /2
g(x)= [ 2^x+2^(-x) ] /2
剩下的问题，想一下呀。
af(x)+g(2x)>=0 x∈(0,1]
即a[(2^x-x^(-x)]/2+[(2^2x+2^(-x)]/2>=0
化简：[ 2^2x+2^(-x) ]+ a[ 2^x-2^(-x)]>=0
[(2^x-2^(-x)]^2+2+a[2^x-2^(-x)]>=0 (用配方法)
令u=2^x-2^(-x),知该函数在（0，1〕内单调增，所以u∈(0,3/2]
所以u^2+au+2>=0,对u∈(0,3/2]恒成立。
1.deta<0
2.deta>=0且f(0)>=0,f(3/2)>0
得出两组解，求其并。
请自己计算一下呀。如有问题，再一起探讨。

Answer 2

解：据奇偶性，f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)
所以f(x)+g(x)=2^x
f(-x)+g(-x)=2^(-x)=-f(x)+g(x)
联立，解得f(x)=[2^x-2^(-x)]/2,g(x)=[2^x+2^(-x)]/2
代入不等式，得：a[2^x-2^(-x)]+[2^(2x)+2^(-2x)]≥0
2^x-2^(-x)在(0,1]上递增且恒大于0，
a≥-[2^(2x)+2^(-2x)]/[2^x-2^(-x)]
即求后式在(0,1]上最大值
（据我推测，因为分子增长率小于分母，考虑上分式前负号，该函数应为增函数，故应该在x=1取得最大值，即a≥-17/6）

Answer 3

根据奇偶函数性质，因为f(x)+g(x)=2^x,即f(-x)+g(-x)=2^(-x),即-f(x)+g(x)=1/(2^x), 解得g(x)=(2^x+1)/2^(x-1),同理f(x)可求,又整理af(x)+g(2x)大于等于0 整理得a大于等于(-2^x-1)/2^x,解得a小于等于-1

Answer 4

我来帮你下面的解法

af(x)>=-g(2x),显然f(x)>0
所以a>=-g(2x)/f(x) 现在就转化为球右边的那个函数的最大值，
设 y=-g(2x)/f(x)=-[4^x+4^(-x)]/[2^x-2^(-x)] 其中x大于0.，小于等于1
令 t=2^x ,1<t<=2得y=-[y*y+1/(y*y)]/(y-1/y),再令 n=y-1/y,0<n<=3/2所以n*n=y*y+1/(y*y)-2
代入得 y=-(n*n-2)/n=-（n+2/n）,容易知道当n=2/n时，取得最大值为y=-2根号2
所以a>=-2*（根号2）